Coba Memahami Metamatematika

Saya mengalami proses jatuh-bangun sampai babak-belur tatkala berusaha coba-coba memahami makna apa yang disebut sebagai metamatematika.

Konon istilah metamatematika pertama kali eksplisit digunakan oleh David Hilbert pada 1922, sebagai sinonim terminologi Beweisstheori alias teori pembuktian tanpa keterkaitan dengan pembuktian di ranah hukum, namun lebih cenderung ke ranah logika serta merta matematika dan filsafat.

Kemudian pada 1931, Kurt Goedel memperparah suasana bingungologis mengenai metamatematika dengan menulis buku berjudul “Ueber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I."

Jika dipaksakan untuk dialih bahasa ke Indonesia kira-kira menjadi “Tentang Proposisi Principia Mathematica Dan Sistem Terkait yang Tidak Dapat Diputuskan Secara Formal, jilid 1”.

Predikat “jilid 1” cukup mutlak untuk diterakan sebab Goedel merencanakan menulis “jilid 2”, namun sayang belum terwujud tanpa alasan yang jelas.

Seperti sudah terduga sebelumnya, daya pikir dangkal saya membuat saya gagal paham isi buku mahakarya Kurt Goedel nan legendaris itu.

Jangankan isi buku, sementara judul buku gubahan mahalogikawan kelahiran Brno itu saja sudah gagal saya pahami.

Tentang proposisi Principia Matematika jelas saya gagal-paham sebab jangankan prinsipnya sementara matematika saja sudah menjadi beban gagal-paham saya tentang apa sebenarnya yang disebut sebagai matematika itu sendiri.

Lalu tentang “sistem terkait yang tidak dapat diputuskan secara formal“ merupakan kalimat sarat paradoks yang frontal membenturkan “terkait” dengan “tidak dapat diputuskan” diperumit dengan “secara formal” yang rawan memicu dugaan ada yang “secara tidak formal” .

Saya juga gagal-paham tentang sejauh mana isi buku itu memiliki keterkaitan dengan teori ketidak-lengkapan baik yang pertama maupun yang kedua atau entah ke berapa yang pernah digagas oleh Kurt Goedel.

Teorema ketidak-lengkapan pertama menyatakan bahwa untuk sistem aksiomatik rekursif yang konsisten dengan ω demi mendeskripsikan aritmatika bilangan, terdapat proposisi yang benar tentang bilangan asli yang tidak dapat dibuktikan maupun dibuktikan dari aksioma.

Teorema ketidak-lengkapan kedua mengikuti teorema pertama, menyatakan bahwa sistem tidak dapat membuktikan konsistensi diri sendiri.

Goedel juga menerangai bahwa baik aksioma pilihan maupun hipotesis kontinum tidak dapat disangkal dari teori himpunan Zermelo-Fraenkel yang diterima dengan asumsi bahwa aksiomanya konsisten.

Hasil sebelumnya membuka pintu bagi ahli matematika untuk mengasumsikan aksioma pilihan dalam pembuktian mereka.

Goedel juga memberikan kontribusi terhadap teori pembuktian demi (mencoba) memperjelas hubungan (jika ada) antara logika klasik, logika intuisionistik, dan logika modal.

Maka dapat disimpulkan bahwa sebenarnya teori-teori gubahan Kurt Goedel bukan tergolong matematika, namun sudah menerabas masuk ke wilayah metamatematika sesuai fatwa David Gilbert berdasar studi radikal terhadap apa yang disebut sebagai pembuktian di dalam maupun di luar semesta matematika dan logika simbolik yang dipelopori oleh Leibniz pada masa abad XVII-XVIII.

Bukan mustahil sebelum Gilbert maupun Leibniz, sebenarnya metamatematika sudah hadir di dalam catatan Akashika selaras antropofisika maupun metafisika serta meta-meta lainnya.