Operasi Biner pada Dua Himpunan

Oleh: Supriaten, Guru SMPN 5 Tanah Grogot, Paser, Kalimantan Timur

KOMPAS.com - Dalam matematika, himpunan memiliki beberapa jenis. Mulai dari himpunan bagian, himpunan semesta, maupun himpunan kosong. Kali ini kita akan mempelajari penerapan operasi biner pada dua himpunan. 

Operasi biner pada himpunan adalah perhitungan yang menggabungkan dua elemen dari himpunan untuk menghasilkan unsur lain atau baru. Jika A dan B adalah dua himpunan maka terdapat empat operasi biner, yaitu:

Operasi gabungan atau union

Himpunan gabungan dilambangkan dengan A ∪ B. Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan anggota himpunan B. Dapat ditulis sebagai berikut:

A ∪ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Baca juga: Rumus Jumlah Deret Geometri

Penulisan anggota himpunan A dan B cukup dituliskan hanya satu kali saja jika gabungan dari himpunan A dan B memiliki anggota yang sama. Agar lebih memahami operasi gabungan perhatikan permasalahan berikut!

Contoh: 

Dua orang kakak beradik bermain gundu secara bersama-sama. Warna gundu yang dimiliki kakak beradik terlihat pada tabel di bawah ini:

Dari informasi data tabel di atas, sajikan setiap anggota himpunan dengan cara mendaftarkan setiap anggotanya dan buatlah gambar diagram venn yang menunjukkan A ∪ B tersebut?

Penyelesaian: 

Jika A adalah himpunan warna gundu kakak dan B adalah himpunan warna gundu adik, maka:

A = {Kuning, Merah, Biru, Hijau, Orange}
B = {Merah, Biru, Hitam, Ungu, Putih}

Diagram Venn yang menunjukkan himpunan A ∪ B ditunjukkan oleh daerah yang diarsir pada gambar berikut:

Dok. Supriaten Diagram venn

Daerah yang diarsir dari dua himpunan di atas merupakan daerah gabungan dari dua himpunan A dan B, sehingga:

A ∪ B =  {Kuning, Orange, Hijau, Biru, Merah, Ungu, Putih, Hitam}

Baca juga: Rumus Jumlah Suku ke-n Barisan Aritmatika

Operasi irisan atau intersection

Himpunan semua anggota yang merupakan anggota himpunan A dan himpunan B adalah irisan himpunan A dan B. Dilambangkan A ∩ B = {x?x ∈ A dan x ∈ B}. Untuk memahami konsep irisan perhatikan contoh berikut ini!

Contoh: 

Nayla dan Puput pergi ke pasar  membeli buah segar, seperti tampak pada gambar di bawah ini!

Dok. Supriaten Contoh irisan

1. Jika A adalah himpunan buah segar yang dibeli oleh Nayla dan B adalah himpunan buah segar yang dibeli oleh Puput, nyatakan setiap anggota himpunan dengan cara mendaftarkan setiap anggotanya!
2. Apakah ada anggota himpunan A dan B yang sama? sebutkan!
3. Dapatkah kamu menggambar diagram venn A dan B tersebut?

Penyelesaian: 

1. A= {Pisang, Rambutan, Mangga, Jeruk}
   B= {Pisang, Apel, Jeruk,  Mangga, Pir}
2. Untuk melihat apakah ada anggota himpunan A yang sama dengan anggota himpunan B dapat dilakukan dengan membuat tabel:
   

   Nama buah	Anggota himpunan A	Anggota himpunan B
   Pisang	∈	∈
   Rambutan	∈	∉
   Mangga	∈	∈
   Jeruk	∈	∈
   Pir	∉	∈
   Apel	∉	∈

3. Gambar diagram venn
   
   Dok. Supriaten Diagram venn

Daerah yang diarsir dari dua himpunan tersebut merupakan daerah irisan dari dua himpunan A dan B, sehingga A ∩ B = { Pisang, Mangga, Jeruk }

Baca juga: Rumus Luas Selimut Tabung dan Contoh Soalnya

Operasi komplemen

Diketahui S adalah suatu himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan.

Komplemen himpunan A dilambangkan dengan adalah suatu himpunan yang semua anggotanya merupakan himpunan S tetapi bukan anggota himpunan A.

Definisi notasi pembentuk suatu himpunan dapat ditulis {x | x ∈ S dan x ∉ A}

Perhatikan contoh soal berikut!

Diketahui: 

S = { x ?x ≤12, x∈A}A = { x ?x ≤12, x∈G }B = { x ?x<10, x∈P}

Tentukanlah:

1. Anggota himpunan S, A, dan B
2. Buatlah diagram venn yang menunjukkan
3. Buatlah diagram venn yang menunjukkan  

Penyelesaian:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

B = { 2, 3, 5, 7}

1. Gambar diagram venn yang menunjukkan  adalah sebagai berikut:
   
   Dok. Supriaten Diagram venn

    

    

   Maka yang merupakan anggota himpunan = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }

2. Gambar diagram venn yang menunjukkan  adalah sebagai berikut:
   

   Dok. Supriaten Diagram venn

    

   Maka yang merupakan anggota himpunan = { 1, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12 }

Baca juga: Rumus Luas Selimut Kerucut

Operasi selisih atau difference

Selisih B terhadap A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A – B. Ditulis:

A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B} =

Contoh soal: 

Perhatikan himpunan berikut ini:

S = { x ?x ≤15, x ∈ A}

A = { x ?x ≤11, x ∈ P }

B = { x ?5 <x<15, x ∈ J}

Tentukan:

1. A – B dan buatlah gambar diagram Venn-nya.
2. B – A dan buatlah gambar diagram Venn-nya.

Penyelesaian:

S = { 1, 2, 3, 4, 5,  ..., 15 }

A = { 2, 3, 5, 7, 11 }

B = { 7, 9, 11, 13 }

Himpunan A – B artinya himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B adalah:

A – B = { 2, 3, 5 }

Dok. Supriaten Himpunan

Himpunan B – A artinya himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A adalah:

B – A = { 9, 13 }

Dok. Supriaten Himpunan

Dok. Supriaten Himpunan

Baca juga: Rumus Panjang Rusuk Kubus