KOMPAS.com – Barisan aritmatika adalah salah satu jenis barisan bilangan dalam matematika. Bagaimana menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika? Berikut adalah rumus jumlah suku ke-n barisan aritmatika!
Sn = n/2 x [2a + (n – 1)b]
Sn = n/2 x (a + Un)
Dengan,
Sn: jumlah suku ke-n (n = 1, 2, 3, 4, … )
n: bilangan real (1, 2, 3, 4, … )
a: nilai suku pertama (U1)
b: beda barisan aritmatika
Un: nilai suku ke-n
Persamaan di atas didapatkan dari penurunan rumus barisan aritmatika. Jumlah suku ke-n adalah jumlah suku pertama (U1), suku kedua (U2), hingga suku ke n (Un), atau dapat ditulis sebagai berikut:
Sn = U1 + U2 + … Un … persamaan (1)
Baca juga: Barisan Aritmatika
Suku pertama (U1) bernilai a. Dilansir dari Cuemath, barisa aritmatika adalah barisan yang selisihnya tetap antara dua suku yang berurutan. Sehingga, nilai suku keduanya (U2) adalah suku pertama ditambah bedanya.
U1 = a … persamaan (2)
U2 = a + b … persamaan (3)
U3 = a + 2b persamaan (4)
Adapun nilai suku ke-n (Un) adalah nilai suku pertama ditambah dengan beda dikalikan dengan n-1. Dilansir dari Math is Fun, rumus suku ke –n barisan aritmatika adalah:
Un = a + (n – 1)b … persamaan (5)
Untuk mendapatkan jumlah suku ke-n barisan aritmatika, kita dapat mensubstitusikan persamaan (2), (3), (4), dan (5) ke dalam persamaan (1).
Sn = U1 + U2 + … Un
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b] … persamaan (6)
Ingatlah bahwa U1, U2, da U3 juga mematuhi rumus Un, sehingga Sn dapat dituliskan sebagai berikut:
Sn = [a + (n – 1)b] + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 3)b] + … + a … persamaan (7)
Baca juga: Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Kemudian, tambahkan persamaan (6) dan persamaan (7):
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b]
Sn = [a + (n – 1)b] + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 3)b] + … + a
2Sn = [2a + (n – 1)b] + [2a + (n – 1)b] + [2a + (n – 1)b] + … + [2a + (n – 1)b]
2Sn = n [2a + (n – 1)b]
Sn = n/2 x [2a + (n – 1)b]
Sn = n/2 x [a + a + (n – 1)b)]
Sn = n/2 x (a + Un)
Sehingga, didapatkan bahwa rumus jumlah suku ke-n barisan aritmatika adalah n/2 dikalikan dengan nilai suku pertamanya (a) yang diambah dengan nilai suku ke-n (Un).
Simak breaking news dan berita pilihan kami langsung di ponselmu. Pilih saluran andalanmu akses berita Kompas.com WhatsApp Channel : https://www.whatsapp.com/channel/0029VaFPbedBPzjZrk13HO3D. Pastikan kamu sudah install aplikasi WhatsApp ya.