3 Langkah dalam Induksi Matematika untuk Membuktikan Suatu Rumus

KOMPAS.com - Induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli.

Dilansir dari buku Peka Soal Matematika (2020) oleh Darmawati, pembuktian dengan induksi matematika memiliki tiga langkah berikut:

Jika ketiga langkah benar, maka dapat disimpulkan pernyataan benar untuk setiap n bilangan asli.

Terdapat beberapa pernyataan yang berhubungan dengan bilangan asli yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika.

Pernyataan yang dimaksud adalah model induksi matematika berupa barisan, ketidaksamaan, dan keterbagian.

Dikutip dari buku Intisari & Bank Soal Supermath SMA/MA (2018) oleh Tim Supermath, berikut contoh soal dan pembahasan mengenai induksi matematika:

Contoh soal 1

Misalnya akan dibuktikan untuk semua bilangan asli n bahwa:

Jawab:

Pertama, kita akan membuktikannya secara berurutan.

• Akan dibuktikan rumus benar untuk n=1

...benar

• Andaikan rumus benar untuk n=k

...benar

• Akan dibuktikan rumus benar untuk n=k+1

...benar

Jadi, rumus berlaku untuk semua bilangan asli n.

Contoh soal 2

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku

Jawab:

Pertama, kita lakukan pembuktian secara berurutan.

• Ditunjukkan untuk n=1 benar

Jadi, pernyataan benar untuk n=1

• Misalkan pernyataan benar untuk n=k. Diperoleh
• Akan dibuktikan bahwa n=k+1 benar

Karena semua langkah benar, berarti terbukti bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku

Itulah penjelasan mengenai pembuktian menggunakan 3 langkah induksi matematika.