Rumus Jumlah Deret Geometri

KOMPAS.com – Deret geometri adalah barisan bilangan berurutan dengan suatu rasio yang tetap. Deret geometro terdiri dari suku-suku. Bagaimana menghitung jumlah deret geometri?

Cara menghitung jumlah deret geometri adalah dengan rumus Sn geometri. Apa itu Sn dalam geometri? S adalah singkatan dari “sum” yang berarti jumlah sedangkan, n adalah suku ke-n. Sehingga, Sn adalah jumlah suku ke-n deret geometri.

Dilansir dari Lumen Learning, rumus jumlah suku ke-n deret geometri adalah:

Sn = a(r^n – 1)/r-1

Dengan,
Sn: jumlah suku ke-n
a: nilai suku pertama (U1)
n: bilangan real (n = 1, 2, 3, …)
r: rasio deret geometri

Baca juga: Sifat-sifat Barisan Geometri Berdasarkan Rasionya

Penurunan rumus jumlah suku ke-n barisan geometri

Bagaimana rumus tersebut didapatkan? Pada dasarnya, rumus jumlah suku ke-n deret geometri adalah penambahan dari suku-sukunya hingga suku ke-n.

Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un … persamaan (1)

Suku pertama (U1) adalah a. Dilansir dari Cuemath, karena rasio deret gemometri adalah tetap maka suku keduanya adalah suku pertama dikali dengan rasio. Dan suku ke-n nya adalah suku pertama dikali rasio pangkat n-1.

U1 = a … persamaan (2)
U2 = ar … persamaan (3)
U3 = ar^2 … persamaan (4)
Un = ar^n-1 … persamaan (5)

Kemudian, kita dapat mensubstitusikan persamaan (2), (3), (4), dan (5) ke dalam persamaan (1) sebagai berikut:

Sn = a + ar + ar² + … + ar^n-1 … persamaan (6)

Baca juga: Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Geometri

Untuk mendapatkan rumus jumlah suku deret geometri, kita perlu membuat satu persamaan baru untuk mengeliminasi persamaan (6).

Sn x r = ar + ar² + ar³ + … + ar^n-1 + ar^n … persamaan (7)

Kemudian, kita dapat mengeliminasi persamaan (6) dengan persamaan (7):

Sn – (Sn x r) = (a + ar + ar² + … + ar^n-1) – (ar + ar² + ar³ + … + ar^n-1 + ar^n)
Sn – (Sn x r) = a – ar^n
Sn (a – r) = a (1 – r^n)
Sn = a(1 – r^n)/(1 – r)

Sehingga, rumus jumlah suku ke-n deret geometri adalah a(1 – r^n)/(1 – r). Rumus tersebut berlaku jika nilai rasio (r) deret geometri lebih kecil dari 1 (r < 1).

Adapun, jika nilai rasio deret geometrinya lebih besar dari satu (r > 1). Maka, rumus jumlah suku ke-n deret geometrinya menjadi:

Sn = a(r^n - 1)/(r - 1)

Dengan,
Sn: jumlah suku ke-n
a: nilai suku pertama (U1)
n: bilangan real (n = 1, 2, 3, …)
r: rasio deret geometri