Rumus Jumlah Suku ke-n Barisan Aritmatika

KOMPAS.com – Barisan aritmatika adalah salah satu jenis barisan bilangan dalam matematika. Bagaimana menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika? Berikut adalah rumus jumlah suku ke-n barisan aritmatika!

Sn = n/2 x [2a + (n – 1)b]
Sn = n/2 x (a + Un)

Dengan,
Sn: jumlah suku ke-n (n = 1, 2, 3, 4, … )
n: bilangan real (1, 2, 3, 4, … )
a: nilai suku pertama (U1)
b: beda barisan aritmatika
Un: nilai suku ke-n

Penurunan rumus jumlah suku ke-n barisan aritmatika

Persamaan di atas didapatkan dari penurunan rumus barisan aritmatika. Jumlah suku ke-n adalah jumlah suku pertama (U1), suku kedua (U2), hingga suku ke n (Un), atau dapat ditulis sebagai berikut:

Sn = U1 + U2 + … Un … persamaan (1)

Baca juga: Barisan Aritmatika

Suku pertama (U1) bernilai a. Dilansir dari Cuemath, barisa aritmatika adalah barisan yang selisihnya tetap antara dua suku yang berurutan. Sehingga, nilai suku keduanya (U2) adalah suku pertama ditambah bedanya.

U1 = a … persamaan (2)
U2 = a + b … persamaan (3)
U3 = a + 2b persamaan (4)

Adapun nilai suku ke-n (Un) adalah nilai suku pertama ditambah dengan beda dikalikan dengan n-1. Dilansir dari Math is Fun, rumus suku ke –n barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n – 1)b … persamaan (5)

Untuk mendapatkan jumlah suku ke-n barisan aritmatika, kita dapat mensubstitusikan persamaan (2), (3), (4), dan (5) ke dalam persamaan (1).

Sn = U1 + U2 + … Un
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b] … persamaan (6)

Ingatlah bahwa U1, U2, da U3 juga mematuhi rumus Un, sehingga Sn dapat dituliskan sebagai berikut:

Sn = [a + (n – 1)b] + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 3)b] + … + a … persamaan (7)

Baca juga: Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Kemudian, tambahkan persamaan (6) dan persamaan (7):

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b]
Sn = [a + (n – 1)b] + [a + (n – 2)b] + [a + (n – 3)b] + … + a
2Sn = [2a + (n – 1)b] + [2a + (n – 1)b] + [2a + (n – 1)b] + … + [2a + (n – 1)b]
2Sn = n [2a + (n – 1)b]
Sn = n/2 x [2a + (n – 1)b]
Sn = n/2 x [a + a + (n – 1)b)]
Sn = n/2 x (a + Un)

Sehingga, didapatkan bahwa rumus jumlah suku ke-n barisan aritmatika adalah n/2 dikalikan dengan nilai suku pertamanya (a) yang diambah dengan nilai suku ke-n (Un).