Soal Mencari Keuntungan Maksimum Pedagang pada Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

KOMPAS.com - Jika Anda menemukan soal cerita terkait mencari keuntungan maksimum, maka itu merupakan tipe soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).

Tipe soal ini umumnya banyak ditemukan pada jenjang pendidikan kelas 2 SMP.

Berikut contoh soal dan pembahasan mengenai soal cerita mencari keuntungan maksimum.

Contoh soal

Seorang pedagang kue mempunyai persediaan 9 kg tepung dan 6 kg mentega. Pedagang memproduksi kue isi pisang dan isi keju.

Untuk membuat kue isi pisang memerlukan 150 gram tepung dan 50 gram mentega, sedangkan isi keju memerlukan 75 gram tepung dan 75 gram mentega.

Apabila harga sebuah kue isi pisang Rp 6.000 dan isi keju Rp 4.000, maka keuntungan maksimum pedagang adalah....

Jawaban:

Diketahui:

• Persediaan tepung (x) = 9 kg atau 9.000 gram
• Persediaan mentega (y) = 6 kg atau 6.000 gram
• Bahan kue isi pisang = 150 gram tepung (x) + 50 gram mentega (y)
• Bahan kue isi keju = 75 gram tepung (x) + 75 gram mentega (y)
• Harga kue isi pisang: Rp 6.000
• Harga kue isi keju: Rp 4.000

Ditanya:

Keuntungan maksimum pedagang: ....?

Pembahasan:

Adapun model matematika-nya, yakni:

150x + 75y ≤ 9000
50x + 75y ≤ 6000

Sedangkan, f(x,y) = 6000x + 4000y

Pertama, misalkan, 150x + 75y = 9000 ...persamaan (i)

50x + 75y = 6000 ...persamaan (ii)

Kemudian, persamaan (i) dan (ii) dieliminasi untuk mendapatkan nilai x dan y.

150x + 75y = 9000
50x + 75y = 6000
----------------  -
100 x = 3000
x = 30

Substitusi nilai x ke dalam persamaan (ii), didapatkan:

50x + 75y = 6000
50 (30) + 75y = 6000
1500 + 75y = 6000
75y = 6000-1500
75y = 4500
y = 60

Sehingga, diperoleh titik (30,60). Meski begitu, titik tersebut belum tentu merupakan hasil keuntungan maksimum yang didapat pedagang.

Oleh karena itu, kita perlu memeriksa setiap titik.

Persamaan (i)

150x + 75y = 9000

• Jika x=0, maka 75y = 9000
  y = 120 atau (0,120)
• Jika y=0, maka 150x = 9000
  x = 60 atau (60,0)

Persamaan (ii)

50x + 75y = 6000

• Jika x=0, maka 75y = 6000
  y = 80 atau (0,80)
• Jika y=0, maka 50x = 6000
  x = 120 (120,0)

Selanjutnya buat grafik garis untuk mengetahui mana saja titik yang masuk dalam daerah persekutuan.

Ada 3 titik yang termasuk, yakni: (0,80), (30,60), (60,0).

Masukkan harga kue isi pisang dan kue isi keju pada masing-masing titik, untuk mencari keuntungan maksimum:

f(x,y) = 6000x + 4000y
f(0,80) = 0 + 4000(80) = 320.000
f(30,60) = 6000(30) + 4000(60) = 420.000
f(60,0) = 6000(60) + 0 = 360.000

Jadi, keuntungan maksimum yang didapatkan pedagang yakni Rp 420.000.