Membedakan Bilangan Pecahan, Rasional, dan Irasional

Oleh: Supriaten, Guru SMPN 5 Tanah Grogot, Paser, Kalimantan Timur

KOMPAS.com - Bilangan merupakan suatu konsep matematika yang digunakan dalam pencacahan dan pengukuran.

Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan.

Masing-masing bilangan memiliki pengertian dan fungsinya masing-masing. Kali ini kita akan belajar membedakan bilangan pecahan, rasional, dan irasional. 

Bilangan pecahan 

Bilangan Pecahan adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk  , dengan a, b∈B,  b≠0, karena jika b adalah bilangan nol maka hasilnya tidak terdefinisi, di mana a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut.

Contoh bilangan pecahan misalnya, , dan seterusnya.

Bagaimana  jika bilangan , dan lain-lain? Apakah dapat disebut sebagai bilangan pecahan? Jawabannya tentu tidak karena bila disederhanakan menghasilkan bilangan bulat.

Bilangan rasional 

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat di ubah menjadi bentuk dengan a, b ∈B, b≠0, jika b adalah bilangan nol hasilnya tidak terdefinisi, bentuk  bila diubah menjadi bilangan desimal angka dibelakang koma akan berhenti disuatu bilangan tertentu atau menghasilkan angka dibelakang koma yang membentuk pola berurutan.

Contoh bilangan rasional adalah  0,25, , , 10%,  ,  dan seterusnya. 

Bagaimana cara menentukan bahwa bilangan desimal adalah bilangan rasional? Bagaimana cara merubah bilangan desimal menjadi bilangan pecahan? Agar memahami lebih dalam perhatikan contoh soal berikut ini: 

Soal 1

Apakah bentuk bilangan desimal 0,333333333333333...... merupakan bilangan rasional?     

Penyelesaian:

Misal x adalah 0,333333333333333...., maka:

x= 0,333333333333333.... kalikan x dengan 10,
menghasilkan:
10 x = 3, 33333333333333.... Menghasilkan persamaan 1

Kemudian kalikan 10x dengan 10, menjadi:
100x = 33,3333333333333.... Menghasilkan persamaan 2

Kurangi persamaan 2 dengan persamaan 1, sehingga 

100x = 33,33333333333333....
10x = 3,33333333333333 .... 
---------------------------(-)
90x = 30
x =
x =

Karena x = dan berbentuk dengan a, b ∈B, b≠0, maka bilangan desimal 0,333333333333333.... disebut bilangan rasional.

Soal 2

Apakah bentuk bilangan desimal 0,4545454545.... merupakan bilangan rasional?

Penyelesaian:

Misal x adalah 0,4545454545.....
x= 0,4545454545..... Kalikan x dengan 10
menghasilkan:
10 x = 4,545454545.... Menghasilkan persamaan 1

Kemudian kalikan 10x dengan 100, menjadi:
1000x = 454,5454545.... Menghasilkan persamaan 2

Kurangi persamaan 2 dengan persamaan 1

1000x = 454,5454545....
10x = 4,545454545....
---------------------- (-)
990x = 450
x =
x =

Karena x = dan berbentuk dengan a, b ∈B, b≠0, maka bilangan desimal 0,4545454545.... disebut bilangan rasional.

Soal 3

Apakah  bentuk bilangan desimal  0,571428571428.... merupakan bilangan rasional?

Penyelesaian:

Misal x adalah 0,571428571428....

x= 0,571428571428.... Kalikan x dengan 10
menghasilkan:
10x = 5,71428571428.... Menghasilkan persamaan 1

Kalikan 10x dengan 1.000.000, menjadi:
10.000.000x = 5714285,71428.... Menghasilkan persamaan 2

Kurangi persamaan 2 dengan persamaan 1

10.000.000x = 5714285,71428....
10x = 5,71428571428....
-------------------------(-)
9.999.990x = 5.714.280
x =
x =

Karena x = dan berbentuk ab dengan a, b ∈B, b≠0, maka bilangan desimal 0,571428571428.... disebut bilangan rasional.

Bilangan irasional 

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat di ubah menjadi bentuk karena, angka dibelakang koma membentuk pola yang tidak berurutan. 

Contoh bilangan irasional, sebagai berikut: 

Perbedaan

Berdasarkan pengertian dan contoh-contoh di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa perbedaan bilangan pecahan, rasional dan irasional adalah sebagai berikut:

• Bilangan Pecahan

Mempunyai bentuk  ab  jika disederhanakan tidak menghasilkan bilangan bulat

• Bilangan Rasional

1. Dapat diubah menjadi bentuk  
2. Jika bentuk diubah ke bentuk bilangan desimal, angka di belakang koma membentuk pola berurutan secara berulang.

• Bilangan Irasional

1. Tidak dapat diubah ke bentuk
2. Jika bentuk diubah ke bentuk bilangan desimal, angka di belakang koma tidak memiliki pola berurutan secara berulang.