Contoh Soal Cara Menghitung Barisan Aritmatika

KOMPAS.com – Dalam ilmu matematika, ada yang disebut dengan baris aritmatika. Barisan aritmatika adalah barisan bilangan dengan pola tertentu. Dilaporkan dari Khan Academy  , dalam baris aritmatika selisih suku-suku yang secara berurutan selalu sama.

Selisih suku-suku tersebut disebut sebagai beda dan dilambangkan dengan ''b". Untuk lebih memahami tentang barisan aritmatika, berikut adalah soal baris aritmatika dan pembahasannya!

Soal 1: Suku pertama dan diketahui

Jika suku pertama suatu baris aritmatika sama dengan 40 dan beda baris tersebut adalah 5, maka suku ke-10 baris tersebut sama dengan …

Jawaban:

Suku pertama = a = 40
Beda = b = 5
Suku ke-10 = n10

Maka, suku ke-10 dalam baris aritmatika tersebut dapat dicari menggunakan rumus:

                                                           Un = a + (n - 1)b

Dilaporkan dari Math is Fun , n-1 digunakan karena pada suku pertama (n1), beda (b) tidak digunakan. Selanjutnya, masukkan suku yang dicari (n), suku pertama (a), dan beda (b) ke dalam rumus sebagai berikut:

  Un = a + (n - 1)b
U10 = 40 + (10 - 1)5
       = 40 + (9 × 5)
       = 40 + 45
       = 85

Maka, suku ke-10 dari baris aritmatika bersuku pertama 40 dan beda 5 adalah 85.

Soal 2: Suku pertama dan diketahui

Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah …

Jawaban:

Pertama-tama kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b) dari Barisan artimatikanya terlebih dahulu.

Gaji pertama = a = Rp3.000.000,00
Kenaikan gaji tiap tahun = b = Rp.500.000
Gaji tahun kesepuluh = U10
Jumlah gaji selama sepuluh tahun = S10

Jumlah gaji pada bulan kesepuluh dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

  Un = a + (n - 1)b
U10 = 3.000.000 + (10 - 1)500.000
       = 3.000.000 + (9 × 500.000)
       = 3.000.000 + 4.500.000
       = 7.500.000

Maka, gaji pegawai yang didapatkan pada tahun kesepuluh adalah sebesar Rp7.500.000,00. Namun, yang dicari adalah jumlah gaji selama sepuluh tahun bukan hanya gaji tahun kesepuluh.

Dilansir dari Cuemath , jumlah suku pertama hingga suku ke-n bisa dicari dengan rumus sebagai berikut:

Sehingga, uang yang diterima pegawai tersebut sebagai gaji selama sepuluh tahun adalah sebesar Rp52.500.000,00.

Soal 3: Suku pertama dan beda tidak diketahui

Jika suku keempat dan suku kesembilan suatu baris aritmatika adalah 14 dan 29, maka suku ke-100 baris tersebut adalah …

Jawaban:

U4 = 14
U9 = 29

Pada soal suku pertama dan beda tersebut tidak diketahui. Sehingga, kita harus menemukan keduanya menggunakan cara eliminasi dan subtitusi sebagai berikut:

Un = a + (n - 1)b
U4 = a + (4 - 1)b
14 = a + 3b … persamaan (1)

Un = a + (n - 1)b
U9 = a + (9 - 1)b
29 = a + 8b … persamaan (2)

Eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2):

Setelah didapat bahwa b adalah 3, subtitusi hasil b ke dalam persamaan (1):

      14 = a + 3b
      14 = a + 3(3)
      14 = a + 9
14 - 9 = a
        5 = a
        a = 5

Maka, didapat bahwa nilai suku pertama (a) dan beda (b) barisan aritmatika tersebut adalah 5 dan 3. Sehingga, suku ke-100 dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

    Un = a + (n - 1)b
U100 = 5 + (100 - 1)3
         = 5 + (99 × 5)
         = 5+ 297
         = 302

Soal 4: Suku pertama diketahui, beda tidak diketahui

Dalam gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 buah, baris kedua berisi 14 buah, baris ketiga 16 buah dan seterusnya selalu bertambah 2. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

Jawaban:

U1 = 12 kursi
U2 = 14 kursi
U3 = 16 kursi
Penambahan kursi tiap baris = beda (b) = 2

  Un = a + (n - 1)b
U20 = 12 + (20 - 1)2
       = 12 + (19)2
       = 12 + 38
       = 50

Maka, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 buah.