Aplikasi Turunan: Nilai Maksimum dan Minimum

KOMPAS.com - Apakah kalian mengetahui bagaimana cara menentukan titik maksimum atau minumum suatu fungsi dengan menggunakan konsep turunan?

Dilansir dari Differential Equations (2010) oleh Vasishtha dan Sharma, persamaan turunan merupakan persamaan yang berisi variabel dependen dan independen serta turunan yang berbeda dari variabel dependen.

Menurut Differential Equations (2006) oleh Hari Kishan, solusi dari persamaan turunan adalah hubungan fungsional antara variabel yang terlibat, yang memenuhi persamaan tersebut.

Salah satu aplikasi dari konsep turunan adalah menentukan titik maksimum atau minimum suatu fungsi.

Baca juga: Turunan Fungsi Aljabar

Suatu fungsi akan mencapai optimal (maksimum atau minimum) jika gradiennya sama dengan nol (m = 0). Karena gradien sama dengan turunan pertama dari fungsi tersebut maka turunan pertama dari fungsi sama dengan nol (f'(x) = 0).

Titik tersebut dinyatakan dengan titik stasioner. Beberapa sifat dari turunan pertama dan kedua suatu fungsi pada x1 dapat kita nyatakan sebagai berikut:

• f'(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik stasioner (kritis).
• f'(x1) = 0 dan f''(x1)>0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik minimum.
• f'(x1) = 0 dan f''(x1)<0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik maksimum.
• f''(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok.

Untuk lebih memahami pembahasan mengenai titik maksmimum dan titik minimum, mari kita kerjakan contoh soal di bawah.

Baca juga: Turunan Sebagai Limit Fungsi

Soal

• Tentukan titik balik fungsi berikut ini!

KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Contoh soal titik balik fungsi kuadrat

Fungsi di atas berdasarkan konsep turunan mempunyai stasioner pada fungsi turunannya, sehingga dapat kita tulis sebagai berikut:

KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Pembahasan untuk mencari nilai x pada contoh soal titik balik fungsi kuadrat

Titik stasioner pada sumbu y diperoleh dengan memasukkan nilai x yang telah diperoleh pada fungsi awal, sehingga:

KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Pembahasan untuk mencari nilai y pada contoh soal titik balik fungsi kuadrat

Baca juga: Turunan: Konsep Tali Busur dan Garis Singgung

Sehingga diperoleh titik stasioner di (2, -1). Keoptimalan fungsi dilihat dari nilai turunan keduanya pada titik tersebut, yaitu:
f''(2) = 2>0, maka disebut titik minimum

Maka kesimpulannya diperoleh titik minimum di (2, -1).